《重谈哥德巴赫猜》勘误

  作者:Sr. Loonie

  新语丝今年3月6日所载之《重谈哥德巴赫猜想》(以下简称《重谈》)本为正本清源之作。但我读罢,却顿觉“秦人不暇自哀,而后人哀之;后人哀之而不鉴之,亦使后人而复哀后人也。”

  文中有三处涉及数论和史实的重大错误:

  其一,1到底是不是素数?大多数古希腊人根本就不承认1是一个数,自然也不会认为这是一个素数。后来,中世纪和文艺复兴时期的许多数学家将1纳入并作为首个素数(这或许是《重谈》中把1当作素数的原因之一吧)。但是,在研究类似质因数分解这样的问题时,如果1是素数,而1的任何次幂都是1,那么某数的因数个数就无法得到明确的结论。同样地,埃氏筛也会因为一开始就把除了1以外所有的自然数都剔除了而失效。因此,在20世纪初,数学家开始将自然数分为三类:素数、合数和单独的1。现在的数学课本上都会说:1既不是素数,也不是合数。有趣的是,克里斯蒂安・哥德巴赫 (Christian Goldbach) 在与莱昂哈德・欧拉 (Leonhard Euler) 通信讨论今日所谓“哥德巴赫猜想”时,将1当作第一个素数,而后者则坚决否定此议。

  其二,素数都是奇数吗?从《重谈》所举的例子来看,似乎所有的素数都是奇数。可是,偏偏还有那么一个自然数,既是素数也是偶数,那就是第一个素数――2。不知道《重谈》举例时为何恰恰漏掉这么重要的一个素数。

  其三,哥德巴赫猜想的正确陈述是什么?1742年6月7日,哥德巴赫在信中提 出一个猜想:

  任一大于2的整数,都可表示成三个素数之和。

欧拉在6月30日的回信中注明此猜想有一个等价的版本:

  任一大于2的偶数,都可表示成两个素数之和。

  (两者陈述的差异缘于前文所及不同的素数约定)

欧拉将此猜想视为一定理,但自言无法证明。今日常见的猜想陈述即为欧拉版,亦称为“强哥德巴赫猜想”。既然有强,那自然就有弱。“弱哥德巴赫猜想”为:

  任一大于5的奇数都可写成三个素数之和。

“弱猜想”之所以“弱”,是因为如果“强猜想”成立,则“弱猜想”必定成立。2013年,有人宣称已完全证明“弱猜想”(还在审核中)。根据奇偶性的不同,“强”、“弱”又分别称为“偶数哥德巴赫猜想”和“奇数哥德巴赫猜想”。

  数学不是自然科学,却比自然科学更注重严密性。所以,提请新语丝审核校对类似文章时,能更严谨一些。

(XYS20160313)

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